Hêlekê ji balafireke: how to make? Types hevkêşeyên balafirê

Di cihekî de, balafirgehek dikare bi awayên cûda (xalek û vekêş, du pîvan û vector, sê xelet, etc.) bêne define. Ew bi vî awayî ye ku wekhevkirina balafirgehê dikare cûreyên cûda hene. Di heman demê de, hin mercan, hin balafirman dikarin parallel, perpendîkular, berbiçav û hûrgelan bibin. Em di vê vê gotarê de li ser vê yekê biaxivin. Em ê çawa bizanin ka çawa wekhevkirina yekem a balafirgehê û ne tenê.

Forma normal ya wekheviyê

Dibe ku peldanka R ₃ heye ku pergala hevrêziya XYZ heye. Dê vekerek vegotin α, ku dê ji O ya destpêkê ve berdestin. Ji ber dawiya veguhê α dakêşîna balafirê Π, kîjan wê dê perçendî ye.

Em ji hêla Π re qonaxa arbitrîkî q = (x, y, z) naxwaze. Em ê bi veguhestina vegotanê ya qala Q binivîsin. Di vê rewşê de, dirêjahiya vector α wekhev = p = IαI û Ʋ = (cosî, cosβ, cosγ).

Ew yekînek vekirî ye ku ji alîyê vector α. Α, β û γ ku ew di navbera vector Ʋ û rêgezên erênî yên axa x, y, z, pêk tê de pêk têne. Pirsgirêka hinek qe QQP li ser vector a berdewam e ku yek wekhev e: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Ev wekheviyê dema p = 0. Pêrek tenê P di vê rewşê de dê heya (α = 0) tête, lê kîjan e, ew e û veguheya îkatorê from ji xala vekirî ye. Her wiha wê tevgerê wê ye, tevî riya wê, ku wateya ku vector defined bi Rastiya îmza. Wekheviya berê ya wekheviya me ya duyemîn II, di forma vekirî de hate diyarkirin. Lê di hevrêzên çavên xwe yên mîna vî awayî:

P Ji hêla an jî wekhevî ye. Me em wekhevkirina balafirgeha balafir li di forma normal de ye.

Wekheviya giştî

Heke hevpeymaniya di hevrêzên hevpeymanan de her hejmareke ku ne wekhev e wekhev nabe, em wekheviyek wekhev be yek, ku heman firokek diyar dike. Ew ê li vî rengî binêrin:

Va ye, A, B, C hejmareke ku bi hev re nezero ne. Ev wekheviyê wek wekhevkirina balafirên gelemperî tête dayîn.

Wekhevkirina balafiran. Rewşên taybetî

Wekheviya di gelemperî de di bin pêşiya şertên din de bêne guherandin. Bila hin ji wan re bifikirin.

Bawer bike ku A Kêmahiya Kêm e 0. Ev tê wateya ku balafirgehek parallel bi axa xuyan e. Di vê rewşê de forma wekheviyê biguherînin: Boo + Cz + D = 0.

Wisa, forma wekheviyê dê di bin mercên jêrîn de biguherînin:

• Pêşîn, heger B = 0, paşê wê wekhevî Ax + Cz + D = 0, ku dê wateya parallelîzmê bi Oy Axa biguherînin.
• Duyemîn, heger C = 0, dûre wekheviyê Ax + Boo + D = 0, ku dê parallelîzmê bi Oz axa xuyanî biaxivin.
• Sêyemîn, heke D = 0, wekhevkirina wek Ax + Boo + Cz = 0, tê wateya ku balafira O (nîşta) ye.
• Ya çaremîn, heger A = B = 0, paşê wê wekheviyê dê Cz + D = 0 biguhere, ku dê parallel bi Oxy re diyar bike.
• Fifth, heger B = C = 0, paşê wekheviya Ax + D = 0 dibe, ku tê wateya ku balafirgeha Oyz parallel e.
• Şeş, heger A = C = 0, paşê wê wekhevî Boo + D = 0, ye, ew dê parallelîzmê bi Oxz re rapor bikin.

Tişta wekheviyê li beşan

Di rewşê de hejmara A, B, C, D cuda ji sifir in, ew forma wekheviyê (0) dikare bibe jêrîn:

X / a + y / b + z / c = 1,

Di kîjan a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Wekî encamek, em ê wekhevkirina balafirgehê li beşan. Divê vê balkêş be ku ev balafir dê dê di axaftina axa Oxê de bi hevrêzên (a, 0,0), Oy - ((0, b, 0) û Oz - (0,0, c).

Bi hesabkirina nirxa x / a + y / b + z / c = 1, ne zehmet e ku birêvekirina balafirgeha balafirgehê ji bo pergala hevrêziya yekgirtî ye.

Hevrêzên veguhastina normal

Vector normal n heya balafirgeha Π coordinatîf kir ku heqê germên giştî yên wekheviyê ya balafirînê, ew e, n (A, B, C).

Ji bo ku biryara hevrêzên nermal n,, ew e ku heqê heqê gişta gelemperî ya balafirîna firoştinê ye.

Bikaranîna lihevhatinê di bin beşan de, ku form x / a + y / b + z / c = 1 heye, wek bi wekheviya giştî, em dikarin hevpeymanên ji veguhastek normal ve ya balafiravê binivîsin: (1 / a + 1 / b + 1 / C).

Ew nirxandin ku vekêşeka normal dibe ku alîkarî cûreyek cûrbecûr bikin. Pirsgirêkên herî herî zêde hene ku pirsgirêkek provesî an parallelîtalîzmê yên balafiran, pirsgirêkkirina kûçeyan di navbera balafirên an balafirên nav û balafirên navîn.

Forma damezirandina balafirgehê li gor hevrêzên xist û veguhastina normal

A nonzero vector n perpendicular ji bo balafirineke duyemîn tê gavê ji bo balafirê dane yê normal (normal) tê gotin.

Dibe ku di qada hevrêzê (pergala hevrêziya rectangular) Oxyz tê dayîn:

• Point M coordin hevrêzên (x x, y, z );
• Veker sîkrikê n = A * i + B * j + C * k.

Pêdivî ye ku wekhevkirina balafirgeha ku ji hêla ML-a perpendîkular bi nermsê ve derbas dibe tête danîn.

Li cîhê ku em her kesek bi awayekî kêfî bijartin û ji hêla M (xy, z) ve tê hilbijartin. Bila veguherîna vegotina vîdyona M (x, y, z) be r = x * i + y * j + z * k, û radius vector of point Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ = xₒ * i + yₒ * J + zₒ * k. M Point M ê ji hewa nayê veguhestin heger MₒM perpendîkular bi vector n. Bila bi şerta pirtûka scalar di bin mercên orthogoniyê de binivîse:

[MₒM, n] = 0.

Ji ber ku MₒM = r-rû, wekhevkirina vectorê ya balafirgehê dê wiha bibînin:

[R-rₒ, n] = 0.

Ev wekheviyê dikare formek din heye. Ji bo vê yekê, em şexsên hilberîna scalar bikar bînin, û milê çepê wekheviyê tê guhertin. [R-rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Heke ku [rₒ, n] tête c, tête peymana jêrîn: [r, n] - c = 0 an [r, n] = c, ku pêkanîna berbiçavkirina pêvajoya veguhestina veguhestinên veguhestinên veguhestinê yên ku ew bi balafirê re heye.

Niha em dikarin forma hevrêziyê ya qeydkirina vector vekêşana me ya me [r-rₒ, n] = 0. Ji R-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, û N = A * i + B * j + C * k, em xwedî:

Ew dihêle ku em wekhevkirina balafirvan heye ku ji hêla dorpêçek pisîkal a normal n:

A * (x-xₒ) + B * (y-yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Forma damezirandina balafirgehê li gorî hevrêzên du hejmaran û vekêşek, balafirlok xist

Em nimûneyên meydanên kêfxweş ên m '(x', y ', z') û M "(x", y ", z"), herweha vector a (a ', a', a).

Niha em dikarin hevpeymaniya balafirbekirî binivîsin, ku dê di derê veguhestina M 'û M' de derbas bibin, û her weha her yekê bi hevrêzên (x, y, z) parallel bi vekirî ve vekirî.

Herweha, vector M'M = {x-x '; y-y'; zz '} û M "M = {x" -x'; y "-y '; z" -z "} divê bi vector ve were A = ('', a ","), û wateya ku (M'M, M "M, a) = 0.

Ji ber vê yekê, wekhevkirina mekanîya balafirgehê dê li vî rengî binêrin:

Forma damezirandina balafirgeha sêweyek sê qalikan

Dibe ku em sê xalên din hene: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴) ku ne bi heman rengê ne. Pêdivî ye ku bi balyozê balafirîna sê balafiran derbas dibe. Tîmîteya geometry dibêjin ku firokek wisa heye, lê tenê ew yek e û neheq e. Ji ber ku vê balafirgehê tête xistî (x ', y', z '), forma wê wekheviyê wê bibe:

Li vir, A, B, C nezero ne. Her weha, balafirîna duyemîn du xalên din digire: (x ", y", z ") û (x x, y ‴, z ‴). Di vê pêwendiyê de, mercên şert divê bêne bicîh kirin:

Niha em dikarin pergala homogeneous ava bikin (linear) bi nasnameyên we, v, w:

Di rewşên me de, x, y an z e ku çarçoveya berevajî xwe ye ku hemîhevkirina xwe (1). Bi pergala wekheviyê (1) û pergala jihevkirina (2) û (3), pergala hevpeymanan di nav hejmarê de jimareya vector N (A, B, C) tije dike, ku nontrivial e. Ji ber vê yekê, biryareke vê pergalê sifş e.

Wekheviyê (1), ku em gihîştin, ev wekheviya balafirgehê ye. Piştî 3 pîvan, ev yek tête, û hêsan e ku hêsantir dike. Ji bo vê yekê, em hewce ne ku ji hêla pêşîn di yekemîn rêza xwe de diyarbekirî xwe dirêj bikin. Ji taybetmendiyên heyî yên destnîşankirî ev e ku balafirên me bi yekem sê caran xalên xuyan kirin (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x x, y ‴, z ‴) digire. Ew e, em ji ber me yê karê xwe ve çareser kir.

Di navbera balafirên du-sidedê de

Kûyê du-gişt bi awayekî nimûne geometric vegotin ji hêla du hewayên sê-planên ku ji hêla yekser yekser ve tê vebirin. Bi awayekî din, ev parçeyek cîhê ye ku bi van balafirên nîv-planan ve girêdayî ye.

Dibe ku em du balafirên bi hevpeymanên jêrîn hene:

Em dizanin ku veksên N = (A, B, C) û N¹ = (А¹, В¹, С¹) li gorî balafirên berbiçav têne perçendîkular in. Di vê pêwendiyê de, glegle φ di nav veguhên N û N¹ di nav çargoşan de (du-sided) ye ku di van balafiran de nebe. Pirtûka scalar ev form heye:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

Ji ber ku

Cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (АА¹ + ²²¹ + СС¹) / ((√ (А² + ²² + С²)) * (√ (А¹) ² + (²¹) ² + (С¹) ²)).

Vê guman e ku hesab dike ku 0≤φ≤π.

Bi rastî, du balafirên ku du kûçikan (du-sided) pêk tê çêkirin: φ ₁ û φ ₂ . Mûzek wekhev e π (φ ₁ + φ ₂ = π) ye. Ji ber ku koziyên wan, nirxên wan yên heqê wekhev e, lê ew di nav nîşanên cuda de ye, ew e φ ₁ = -cos φ _{2 e} . Ger em bi A-B, -B û -C, bi rêjeya wekhevî (0) de, A, B û C bi veguherînin, hingê hevbaweriya ku em dê bibin balafirvan, heman yek, φ di equation cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Dê ji alîyê π-φ ve bêne veguherandin.

Hemhevkirinê ya balafirîna perpendîkular

Perpendîkular hebên ku di navbera deryayê de 90 çolê hene. Bikaranîna materyalên jorîn bi kar tînin, em dikarin wekhevkirina balafirên balafirûk din. Dibe ku em du balafir hene: Ax + Boo + Cz + D = 0 û A¹x + Bûy + Czz + D = 0. Em dikarin bêjin ku ew cosφ = 0. Ev wateya ku NN¹ = AA + + BB¹ + CC¹ = 0.

Wekhevkirina balafirê parallel

Parallel du balafirên ku ne xalên hevpar hene.

Rewşa parallelîzma planên (wekheviya wan wekhev di heman paragrafê de) ev e ku veguhên N û N1, yên ku ji wan re perçendîkular in, nehêle ne. Û ev tê wateya ku mercên nimûneriyê bêdeng in:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Ger mercên nimûne zêde dirêj kirin - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

Ev nîşan dide ku balafirên van hevgirtinan pêk tê. Ev tê wateya ku wekheviya Ax + Boo + Cz + D = 0 û A¹x + Bûy + Czz + D¹ = 0 binivîse.

Ji balafirgeha dûr ve ji dorpêçê

Dibe ku em mebesta balafirgeha Π, ku ji hêla wekheviyê (0) tê dayîn. Pêdivî ye ku ji ber ku dûr ve ji nuqteya hevrêzên (x x, yû, zû) = Q pêwîst e ku bibînin. Ji bo vê yekê, em hewce ne ku hevpeymana balafirgehê Π bi forma normal bike kêm bikin:

(Ρ, v) = p (p≥0).

Di vê rewşê de, ρ (x, y, z) radiator vector ya me ya Q Q li ser ser II ye, p a dirêjahiya perpendicular e ku ji ji qaîdeya sifrê serbest ve ye, v vek vekêşek ku ew di rê de ye.

Cûda ρ - ρ ji veguhestina vegotinê ya qonaxa q = (x, y, z) bi Π, û herweha radius vector ya xuyakirinê q ₀ = (x x, yₒ, zₒ) veguherînek ku hempesaziya tevahî ya li ser V wekheviyek dûr e, ku ji Q ₀ = (x x, y, zû) divê Π:

D = | (ρ-ρ ⁰ , v) |, lê

(Ρ-ρ ⁰ , v) = (ρ, v) - (ρ ⁰ , v) = ρ - (ρ ⁰ , v).

Ji ber vê yekê,

D = | (ρ ⁰ , v) -p |

Niha em dibînin ku ji bo Q- ₀ heta balafirgeha dûr dakêşin, divê em forma normal ya wekhevkirina balafirgehê bikar bînin, paşê wê bi wê çepê p ya veguherînin, û xêra x, y, zp, alternatîf x, y, zp.

Bi vî awayî, em nirxa tevahî ya nîqaşkirina encaman, ku ew e, d.

Bikaranîna zimanên pîvanan, em diyar e:

D = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Heke hejmara xuyî Q ₀ li aliyekî duyemîn II, wekî navekî çêkirî ye, paşê di navbera vector ρ-ρ ⁰ û v li wir an obtuse angle ye, ji ber vê yekê:

D = - (ρ-ρ ⁰ , v) = (ρ ⁰ , v) -p> 0.

Di rewşê de ku Q ₀ bi hev re bi hevrêzên niştimanî re di heman alîgirê II de ye, paşê têkoşînek hêsan e, ew e:

D = (ρ-ρ ⁰ , v) = ρ - (ρ ⁰ , v)> 0.

Wekî encamek, ev yek di rewşê de (ρ ⁰ , v)> p, di rewşê duyem (ρ ⁰ , v)

Balafirên tangent û hevpeymaniya wî

Balafirên tengent li ser xala Mengaliyê M0 ye ku hewa balafirên ku hemî tengentên ku bi vî rengî li ser rûyê ve têne avêtin hene.

Bi vê formê wekheviya zeviyê F (x, y, z) = 0, wekhevkirina balafirîna tangentê li ser xala xala M0 (x, y, z0) wê bibîne:

Fx ( _x °, yo, z0) (x-x0) + Fx (x0, y0, z0) (y-y0) + Fx (x0, y0, z0) (z-z0) = 0.

Gava ku em di zelalek zelal zelal de diyar bike z = f (x, y), paşê balafirên tangent dê bi rêjeya wekhevî tê gotin:

Z-z0 = f (x0, y0) (x-x0) + f (x0, y0) (y-y0).

Têkiliya du balafiran

Di asta sê-dimîner de pergala hevrêz (october) Oxyz, du balafirên П 'û П "tête dayîn, ku têxe navnîşan û naxwazin. Ji ber ku heya ku hewayî di pergala hevrêziya rectangular de ji hêla wekheviya giştî ve hatiye diyarkirin, em bawer dikin ku Π 'û Π "ji hêla wekhevkirina A'x + B'y + C'z + D' = 0 û A" x + B "y + Bi "z + D" = 0. Di vê rewşê de me n 'normal' n (A, B, C ') ya balafirgeha II' û normal n "(A", B ", C") ya balafirgeha II ". Ji ber ku balafirên me parallel ne û naxwazin, vektor nezanîn ne. Bikaranîna zimanê mathematics, em dikarin vê rewşê binivîse binivîse: 'n' ≠ n "↔ (A ', B', C ') ≠ (λ * A", λ * B ", λ * C"), λεR. Bila rêza ku li derveyî Pêvekirî ya П 'û П "tête nebe, ji hêla = П' ∩ П" ve tête redkirin.

A rêzek e ku yek ji xalên hûrgelan (hevbeş) balafirên II û II "pêk tê. Ev tê wateya ku hevrêzên ku her cûre girêdayî lîsk divê bihevrehevkirinahevkirinahevkirina A'x + B'y + C'z + D '= 0 û A "x + B" y + C "z + D" = 0. Ji ber vê yekê, hevrêzên nîqaş dê pergala jêrîn a çareseriya taybetî be:

Wekî encamek, ev xuya kir ku çareseriya (hevbeş) ya vê pergala hevrêzên dê hevrêzên her xalên rasterast ên rasterast diyar bikin, ku dê wekî P 'û P' tê kirin, û li ser pergala hevrêziya Oxyz (rectangular) pergala yekser rast bike.